Josip Ilicić rozpoczął profesjonalną karierę piłkarską w słoweńskim NK Maribor. Udane występy przyniosły mu transfer i w wieku 21 lat przeniósł się do włoskiego Palermo. Po trzech sezonach zaliczył 98 startów i strzelił 20 goli. Fiorentina zainteresowała się jego usługami i w 2013 roku przeniósł się do Toskanii.
Jego najjaśniejszy okres przypadł na Atalantę, gdzie przeniósł się w 2017 roku. W swoim pierwszym sezonie strzelił 12 goli i zajął z Boginią historyczne trzecie miejsce w Serie A, zapewniając sobie awans do Ligi Mistrzów. To zapewniło mu miejsce w Drużynie Roku 2018/19 Serie A. Po pięciu latach w klubie zaliczył 173 mecze i 60 bramek. Tym samym stał się piątym najlepszym strzelcem w historii klubu z Bergamo.
Wiosną 2020 roku nastąpił jednak punkt zwrotny. Cały świat został sparaliżowany przez pandemię koronawirusa i wszystko stanęło w miejscu. Liga Mistrzów wróciła dopiero w sierpniu, ale wtedy Ilicicia nie było już w składzie. "Sam złapał koronawirusa i popadł w depresję. W takim momencie głowa człowiekowi eksploduje" - opisał Ilicicia kolega z drużyny Papu Gómez.
Pomimo utrzymujących się problemów psychicznych i nadwagi powrócił do piłki nożnej w sezonie 2021/22, ale nie rozegrał wielu meczów i rozstał się z włoskim klubem jesienią 2022 roku. Z powodu przerwy wypadł również z kadry narodowej.
Ilicić postanowił wrócić do Mariboru. Stopniowo zaczął pokazywać swoją dawną formę, a dzięki dobrym występom otrzymał zaproszenie na mecze przygotowawcze z Armenią i Bułgarią przed Euro. "To marzenie każdego zawodnika. Jestem wdzięczny trenerowi i wszystkim w reprezentacji, że pomogli mi je spełnić" - powiedział szczęśliwy Ilicić.
Na Euro Słoweńcy zdobyli trzy punkty, remisując z Danią, Serbią i Anglią, a przeciwko Anglikom Ilicić wszedł na boisko w 75. minucie. "Teraz wrócił, nie powiedziałbym, że na poziomie Atalanty, ale sam fakt, że grał dla reprezentacji, strzelił gola w meczu towarzyskim z Armenią i wyszedł na mecz z Anglią, przyniósł mi osobiście wiele dumy i satysfakcji" - powiedział jego agent Amir Ruznić.
Pomógł swojej drużynie narodowej awansować z grupy po raz pierwszy w historii, ale w 1/8 finału trafili na trudnego przeciwnika. Dotrzymali kroku Portugalczykom i dotarli do rzutów karnych. Josip Ilicić jako pierwszy podszedł do rzutu karnego. Niestety dla niego, Diogo Costa był w niebywałej dyspozycji i wybił strzał. Słoweńcy nie wykorzystali dwóch kolejnych prób i Portugalia awansowała do ćwierćfinału.
Chociaż nieudana próba w rzucie karnym będzie skazą na występie Ilicicia na Euro, to i tak godny podziwu jest poziom, do którego był w stanie powrócić po poważnych problemach i pomóc swojemu krajowi w osiągnięciu historycznego sukcesu. Zresztą, mimo bólu porażki w fazie pucharowej, Słoweńcy byli żegnani gromkimi owacjami na stojąco przez swoich kibiców, a wielotysięczny tłum powitał ich we wtorek w Lublanie.