Bamba grał w Cardiff City, Leeds United i Leicester City. Miał także okresy we włoskiej drużynie Palermo, szkockich klubach Dunfermline Athletic i Hibernian oraz tureckiej drużynie Trabzonspor.
Rozegrał 46 występów w reprezentacji swojego kraju, strzelając jednego gola, po czym w styczniu 2023 r. przeszedł na piłkarską emeryturę i zaczął pracować jako trener, pełniąc funkcję asystenta menedżera w Cardiff, a następnie objął stanowisko dyrektora technicznego w Adanaspor.
„Nasz dyrektor techniczny Souleymane Bamba, który zachorował przed wczorajszym meczem z Manisa Football Club, został zabrany do szpitala uniwersyteckiego Manisa Celal Bayar i niestety przegrał walkę o życie” – oznajmił Adanaspor w oświadczeniu. „Składamy kondolencje jego rodzinie i naszej społeczności”.
W 2021 roku u Bamby zdiagnozowano chłoniaka nieziarniczego, ale po chemioterapii uznano, że jest wolny od raka.
Cardiff City, gdzie Bamba w swoim pierwszym sezonie wywalczył awans do Premier League, określiło jego wpływ na klub jako „niezmierzony”.
„Z głębokim smutkiem przyjęliśmy dzisiejszego wieczoru wiadomość o śmierci legendy klubu, Sola Bamby. Był dla nas wszystkich bohaterem, liderem w każdej szatni i prawdziwym dżentelmenem” – napisano w oświadczeniu klubu.
„To absolutnie tragiczna wiadomość. Sol Bamba zmarł w wieku zaledwie 39 lat. Składamy najszczersze kondolencje rodzinie” – napisała na Instagramie reprezentacja Wybrzeża Kości Słoniowej w piłce nożnej.
Leeds United nazwało go „jednym z najmilszych ludzi w piłce nożnej”.
„Myśli wszystkich w Leeds United są w tej tragicznej chwili z rodziną i przyjaciółmi Sola. Spoczywaj w pokoju Sol, na zawsze będziesz w naszych sercach”.