Siatkarz stawiał swoje pierwsze siatkarskie kroki w MOS Wola Warszawa, w którego barwach sięgnął w 2020 roku po mistrzostwo Polski juniorów i został wyróżniony tytułem MVP całych rozgrywek. Ponadto Bartosz Gomułka w 2021 roku wraz z reprezentacją Polski sięgnął po brązowy medal mistrzostw świata juniorów, a rok później w Tarnowie z reprezentacją Polski U-22 zdobył brązowy medal mistrzostw Europy.
W sezonie 2021/2022 Gomułka podpisał kontrakt z pierwszoligowym zespołem Legii Warszawa, a kolejny sezon rozegrał w zespole AZS AGH Kraków. Doskonała postawa Gomułki w sezonie 2022/2023 i 9 nagród MVP, jakie otrzymał w tamtym okresie, przyczyniły się do wyróżnienia młodego atakującego nagrodą MVP Tauron 1. Ligi podczas Gali Polskiej Ligi Siatkówki.
W minionym sezonie 22-latek miał okazję zadebiutować na poziomie PlusLigi w barwach klubu Enea Czarni Radom, dla którego rozegrał 28 spotkań w PlusLidze i zdobył łącznie 70 punktów, a do tego zdobył dwa wyróżnienia dla najlepszego gracza meczu. W 2024 roku atakujący otrzymał do trenera Nikoli Grbicia powołanie do szerokiej reprezentacji Polski na obecny sezon kadrowy.
"Bartosz to jeden z najbardziej utalentowanych atakujących młodego pokolenia, z roku na rok wykonuje wielkie postępy i wierzymy, że kolejne nastąpią w naszym zespole. Liczymy, że wraz z Damianem Domagałą będą się doskonale uzupełniać na pozycji atakującego, co przyniesie korzyść całemu zespołowi" – mówi Jakub Bochenek, dyrektor sekcji siatkówki GKS-u.